jueves, 14 de mayo de 2020

Potencia y Radicales


POTENCIACION Y RADICACIÓN
La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica. 

La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.

POTENCIACION

Cuando se multiplica un número natural por sí mismo, por ejemplo,  , hay otra manera de expresar ese producto: 
Y se lee "3 al cuadrado", o "3 a la 2".
La costumbre de decir "3 al cuadrado" es muy antigua, y la razón por la cual se dice así, tiene que ver con la geometría.
Si se tiene un cuadrado cuyo lado mide 3 unidades, su área es :  

El área de cualquier cuadrado es igual al lado multiplicado por sí mismo, es decir, al cuadrado de la medida de su lado.
En los tiempos de la Grecia Antigua, gran parte de las ideas matemáticas eran estudiadas a través de la Geometría, y por eso, cuando se quería encontrar una representación geométrica de algo tan sencillo como el producto de dos números, digamos, tex2html_wrap581 , lo que hacían era dibujar un rectángulo de lados tex2html_wrap582 y tex2html_wrap583 , y así, veían el producto tex2html_wrap581 como el área del rectángulo que acababan de dibujar.
De la misma manera, el producto tex2html_wrap585 era visto como el área de un cuadrado de lado tex2html_wrap582 , y esta manera de ver las cosas  continuó  por mucho tiempo, de manera que el número tex2html_wrap587 , se siguió llamando "el cuadrado de 5", o "5 al cuadrado".
También se tiene que tex2html_wrap588 , que es igual a tex2html_wrap589 , se lee: "2 al cubo", y la razón para esto proviene también de la visión que tenían los griegos de la Matemática asociada a la Geometría.
Si tenemos un cubo de arista 2:

su volumen es igual a tex2html_wrap590 . Es por esto que aún hoy se lee "2 al cubo", o " 2 elevado al cubo''.

El proceso de multiplicar a un número por sí mismo una cierta cantidad de veces, se llama potenciación.
 

En el caso de tex2html_wrap580, se tiene que tex2html_wrap592 es llamado la BASE, y es el número que se multiplica por sí mismo.
tex2html_wrap593 es el EXPONENTE, el número de veces que se multiplica a la base por sí misma.
Debe observarse con cuidado que :
  displaymath746
pues
tex2html_wrap594 y tex2html_wrap595

La potenciación tiene unas propiedades muy importantes que se estudiarán a continuación.

Propiedad 1
Si se multiplican dos potencias con igual base, como por ejemplo: 

se está realizando lo siguiente:  

Como el producto es asociativo, esto se puede expresar así:  
y esto es igual a   Por eso, se puede decir que
displaymath751


 
Propiedad 2
 

La segunda propiedad se refiere a la potencia de una potencia, es decir, la operación de elevar un número a una potencia, y el resultado se eleva a otra potencia, por ejemplo:  
Según la primera propiedad ya vista,  
displaymath753
En resumen,  
Propiedad 3
 

Al realizar el siguiente producto, elevado a una potencia:  
displaymath758
se tiene que la última igualdad es cierta porque el producto es conmutativo y asociativo, y finalmente  
displaymath759
De manera que se tiene:  
Propiedad 4

La propiedad que sigue ahora es muy sencilla, pero muy importante:
Todo número elevado al exponente tex2html_wrap599 es igual a tex2html_wrap600 . Por ejemplo:  
displaymath762
No importa cuál sea la base, si el exponente es tex2html_wrap599 , se obtiene tex2html_wrap600 como resultado.
La razón es muy sencilla: si debe cumplirse
siempre la propiedad 1, entonces , por ejemplo:   displaymath763
Es decir, multiplicar a tex2html_wrap580 por tex2html_wrap604 es lo mismo que multiplicarlo por tex2html_wrap600 , porque al final se obtiene como resultado el mismo número tex2html_wrap580 . Eso quiere decir que tex2html_wrap607 .

Se puede observar ahora lo que ocurre cuando se multiplican potencias con distintas bases y distintos exponentes.  
En este caso, no hay ninguna propiedad especial de la potenciación que permita escribir este producto de potencias de otra manera que facilite el cálculo.
Sin embargo, hay casos de multiplicación de potencias de distinta base, en los cuales sí se puede aplicar alguna propiedad de la potenciación, como el siguiente:  
displaymath765
Aún siendo distintas las bases, una de ellas es potencia de la otra (tex2html_wrap614 ), entonces la expresión sí se puede escribir de una manera más sencilla, utilizando las propiedades de la potenciación:  
Ahora te invitamos a que tomes una hoja de papel y escribas las siguientes expresiones de manera distinta a la dada, usando las propiedades de la potenciación estudiadas hasta ahora:
tex2html_wrap615 tex2html_wrap616tex2html_wrap617 tex2html_wrap618
tex2html_wrap619 tex2html_wrap620

Se han visto hasta ahora propiedades de la potenciación que se refieren a productos de potencias. Se mostró cómo una expresión se puede escribir de una manera más sencilla usando estas propiedades. Es muy natural que se puedan hacer esos cambios, porque la potenciación no es más que una forma abreviada de expresar una multiplicación, y al multiplicar potencias, lo que se hace es multiplicar productos, es decir se está siempremultiplicando.
En cambio, cuando se combina la potenciación con la suma o la resta, se están realizando operaciones diferentes y NO siempre se puede aplicar alguna de las propiedades vistas hasta ahora. Por ejemplo:
Si se quieren sumar dos potencias de igual base: displaymath767
Se observa que esta operación indica lo siguiente:

 
Aquí están expresadas dos operaciones: la suma y el producto. La manera más sencilla y directa de realizar estas operaciones es simplemente calcular primero las potencias y luego sumarlas. De manera que la expresión más sencilla para la operación anterior es

tal como se escribió al principio.
Otro caso en el que debe tenerse cuidado es en la suma de potencias como las siguientes:

displaymath770          displaymath771

 
Es muy importante convencerse para siempre de que
 

displaymath772

 
La manera más segura de convencerse es calculando ambas operaciones:
 

displaymath773

 
Por otro lado
 
displaymath774

 
Es evidente, entonces, que tex2html_wrap621, pues tex2html_wrap622 .

 
Un argumento geométrico útil para convencerse de que displaymath775
es el siguiente:

Se tiene un cuadrado de lado 3 y un cuadrado de lado 7.

 
Se suman sus áreas
Esta suma es igual a  tex2html_wrap623 .

Ahora, a esta figura se le añade lo que hace falta para obtener un cuadrado de lado tex2html_wrap624 , de la siguiente manera:
¿Qué se obtiene? El cuadrado nuevo tiene lado tex2html_wrap625 y su área, como se sabe , es igual a tex2html_wrap626.
Se han tenido que añadir rectángulos a la figura original, cuya área es tex2html_wrap623, para obtener un área igual a tex2html_wrap628, y eso asegura que estas dos cantidades no son iguales.




RADICACIÓN

Todo comenzó con el llamado Teorema de Pitágoras. Se llama Teorema a toda afirmación matemática importante que es demostrada de manera rigurosa, irrefutable. El Teorema de Pitágoras afirma que, en todo triángulo rectángulo, el lado mayor, llamado hipotenusa, elevado al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos.


Se sabe que tex2html_wrap_inline1145 es igual al área del cuadrado cuyo cuyo lado es a (potenciación en N ). Así, lo que el Teorema de Pitágoras afirma es lo siguiente: las áreas de los cuadrados cuyos lados son a y b, al sumarse, dan el área del cuadrado cuyo lado es c.



         El símbolo de la Raíz es  tex2html_wrap_inline1179   para representar las raíces cuadradas.


Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que consista en una potencia con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo tex2html_wrap_inline1179 , al cual se llama raíz. En los siguientes ejemplos se observa cómo será utilizado este símbolo:

 
Símbolo
Se lee


 
raíz cúbica de 2


 
raíz cuarta de un medio al cubo


 
raíz séptima de menos cinco


 
raíz octava de siete a la menos cinco


 
raíz quinta de menos dos tercios a la ocho


 
raíz sexta de cinco tercios a la menos uno


 
raíz cuadrada de cuatro quintos

 
Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice.
Por ejemplo, en la expresión tex2html_wrap_inline1197 se tiene Índice=3 y Cantidad subradical=2

Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite. Es decir, tex2html_wrap_inline1203 significa tex2html_wrap_inline1205 y se lee "raíz cuadrada de 7''. Es importante recordar ( potenciación con base en Q y exponente en Z ) que siempre podemos expresar una potencia con exponente negativo como el inverso de una potencia con exponente positivo.
Por ejemplo:
 
tex2html_wrap_inline1211
 
tex2html_wrap_inline1213 (¿Por qué?)
 
tex2html_wrap_inline1215

10 comentarios:

  1. Respuestas
    1. Es cuestión de darnos cuenta y practicarlos, es muy fácil si se sabe las operaciones básicas y la regla del orden de resolución de operaciones combinadas.

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  2. A simple vista pero no imposible Andrew

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    1. Es verdad a simple vista parece complicado, pero es sencilla su resolución. Practiquen cada ejercicio del Blog si deseas aprender más. Depende de ti, tienes el plato servido.

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  3. Ximena :Profesor buenos dias me gusto el tema de la radicacion y de la potencia muy interesante.

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    1. Ximenita que bonito comentario, para que nel tema tenes que practicar esos ejercicios tipo o modelos y veras que es sencillo e interesante.
      Solo la practica hace al maestro. hazlo tu puedes.

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  4. Profesor, aprenderé más sobre el tema.
    Saludos
    Vasco

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    1. Te felicito vasco por el deseo de querer aprender más. Eso es la voluntad y ese deseo que manifiestas.

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  5. frodriguezm@iepnpnva.edu.pe5 de junio de 2020, 11:48 a.m.

    profesor Duberlí este tema es muy interesante y fácil de resolver pero parece un poco difícil a simple vista pero no es así es muy fácil

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  6. Esta suma es igual a tex2html_wrap623 .

    Ahora, a esta figura se le añade lo que hace falta para obtener un cuadrado de lado tex2html_wrap624 , de la siguiente manera:

    ¿Qué se obtiene? El cuadrado nuevo tiene lado tex2html_wrap625 y su área, como se sabe , es igual a tex2html_wrap626.
    Se han tenido que añadir rectángulos a la figura original, cuya área es tex2html_wrap623, para obtener un área igual a tex2html_wrap628, y eso asegura que estas dos cantidades no son iguales.




    RADICACIÓN

    Todo comenzó con el llamado Teorema de Pitágoras. Se llama Teorema a toda afirmación matemática importante que es demostrada de manera rigurosa, irrefutable. El Teorema de Pitágoras afirma que, en todo triángulo rectángulo, el lado mayor, llamado hipotenusa, elevado al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos.



    Se sabe que tex2html_wrap_inline1145 es igual al área del cuadrado cuyo cuyo lado es a (potenciación en N ). Así, lo que el Teorema de Pitágoras afirma es lo siguiente: las áreas de los cuadrados cuyos lados son a y b, al sumarse, dan el área del cuadrado cuyo lado es c.



    El símbolo de la Raíz es tex2html_wrap_inline1179 para representar las raíces cuadradas.


    Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que consista en una potencia con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo tex2html_wrap_inline1179 , al cual se llama raíz. En los siguientes ejemplos se observa cómo será utilizado este símbolo:


    Símbolo
    Se lee



    raíz cúbica de 2



    raíz cuarta de un medio al cubo



    raíz séptima de menos cinco



    raíz octava de siete a la menos cinco



    raíz quinta de menos dos tercios a la ocho



    raíz sexta de cinco tercios a la menos uno



    raíz cuadrada de cuatro quintos


    Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice.
    Por ejemplo, en la expresión tex2html_wrap_inline1197 se tiene Índice=3 y Cantidad subradical=2

    Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite. Es decir, tex2html_wrap_inline1203 significa tex2html_wrap_inline1205 y se lee "raíz cuadrada de 7''. Es importante recordar ( potenciación con base en Q y exponente en Z ) que siempre podemos expresar una potencia con exponente negativo como el inverso de una potencia con exponente positivo.
    Por ejemplo:

    tex2html_wrap_inline1211

    tex2html_wrap_inline1213 (¿Por qué?)

    tex2html_wrap_inline1215

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